Wstęp do geometrii różniczkowej Wydanie 2

Nowe wydanie popularnego podręcznika poświęconego klasycznej geometrii różniczkowej, rozszerzone o omówienie całek z funkcji wektorowych oraz o dodatkowy rozdział poświęcony topologii różniczkowej. Książka ta powstała z notatek do wykładów geometrii różniczkowej, prowadzonych przez autorów w ciągu wielu lat na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.

Celem autorów było omówienie geometrii krzywych i powierzchni w sposób zwięzły, ale dokładny, a przy tym odwołujący się do wyobraźni przestrzennej. Pomaga w tym niewątpliwie duża liczba precyzyjnie wykonanych rysunków. Odpowiednio dobrane przykłady i zadania ukazują związki geometrii różniczkowej z innymi dziedzinami: teorią funkcji analitycznych, topologią, mechaniką, kartografią oraz algebrą.

Wiele zadań pochodzi z kolokwiów i egzaminów, inne to ulubione zadania Autorów, przerabiane na ćwiczeniach. Zadania te – których jest w sumie niemal dwieście – z pewnością będą przydatne zarówno dla studentów, jak i osób prowadzących zajęcia z tego przedmiotu.

Spis treści:

Wstep                                7

1. Podrozmaitosci przestrzeni afinicznych             9
Zadania                              22

2. Krzywe w przestrzeniach euklidesowych            25
Krzywe unormowane w R3                    28
Krzywe nieunormowane w R3                   35
Krzywe w R2                           38
Zadania                              40

3. Rozmaitosci riemannowskie                  48
Zadania                              58

4. Geometria powierzchni                      62
Wykresy funkcji                         74
Powierzchnie okreslone równaniem                 75
Powierzchnie obrotowe                       77
Powierzchnie prostokreslne                     80
Powierzchnie minimalne                      83
Symbole Christoffela, theorema egregium             85
Zadania                              89

5. Pochodna kowariantna, geodezyjne               95
Powierzchnie o stałej krzywiznie Gaussa             104
Zadania                            107

6. Twierdzenie Gaussa–Bonneta                 110
Punkty osobliwe gładkich pól wektorowych            118
Całki z pól wektorowych                     121
Zadania                            124

7. Liczby zwiazane z przekształceniami rozmaitosci     127
Rozmaitosci z brzegiem                     127
Punkty i wartosci regularne i krytyczne             129
Stopien Brouwera                        132
Indeks przekształcenia i indeks przeciecia             139
Indeks zaczepienia                        144
Formy rózniczkowe                        148
Zadania                            162
Skorowidz