Geometria - Kartezjusz

Geometria Kartezjusza jest arcydziełem, które zapoczątkowało nowożytną matematykę.

„Mógłbym podać tu kilka innych sposobów rysowania i ujmowania linii krzywych, coraz bardziej złożonych, stopniowo w nieskończoność, ale by zrozumieć razem wszystkie te, które są w naturze, kolejno w pewnych rodzajach, nie znam nic lepszego, jak powiedzieć, że wszystkie punkty tych, które można nazwać geometrycznymi, to znaczy te, które podpadają pod  dokładną i ścisłą miarę, z konieczności mają jakiś związek z wszystkimi punktami linii prostej, który można wyrazić pewnym równaniem, tym samym dla wszystkich”.

W tym zdaniu, pierwszy raz w historii matematyki w ogóle, linia jest pojęta jako obiekt złożony z punktów. To, co matematycy antycznej Grecji nazywali miejscem, w Geometrii, via równanie Fi(x, y), jest obiektem złożonym z punktów C = Fi (x, y).

,,jeśli chcemy podzielić kąt NOP na trzy równe części,  przyjmując NO = 1 za promień okręgu,  NP = q za cięciwę danego łuku oraz NQ = z za cięciwę jednej trzeciej tego łuku,  otrzymujemy równanie z3 = 3z - q.  [...] Dalej, niech będzie wykreślona parabola FAG, tak że CA, połowa jej prostopadłego boku  jest 1/2.  Jeśli przyjmiemy CD = 3/2 i prostopadłą DE = 1/2q,  i ze środka E przez A zostanie zakreślony okrąg FAgG, to przetnie on tę parabolę w trzech punktach F, g i G, co pokazuje, że w tym równaniu są trzy pierwiastki, mianowicie dwa prawdziwe GK i gk oraz trzeci, fałszywy, mianowicie FL”.

Spis treści:

1. Wstęp
1.1 Edukacja Kartezjusza w zakresie matematyki
1.2 Historia wydania Geometrii
1.3 Nota edytorska

2. Kartezjusz, GEOMETRIA

3. Komentarz do Księgi Pierwszej
3.1 Arytmetyka odcinków
3.1.1 Ciało odcinków
3.2 Warstwa oznaczeń symbolicznych
3.3 Twierdzenie Pitagorasa
3.4 Zagadnienie Pappusa. Analiza
3.5 Zagadnienie miejsca
3.5.1 Miejsce a równanie krzywej
3.5.2 Pierre Fermat, Ad Locos Planos et Solidos Isagoge
3.6 Warstwa językowa
3.7 Cytat z Pappusa

4. Komentarz do Księgi Drugiej
Krzywe mechaniczne
Krzywe geometryczne
4.3 Równanie krzywej
4.3.1 Hiperbola
4.3.2 Parabola sześcienna
4.3.3 Konchoida
4.4 Ruch i równanie krzywej
4.5 Krzywe transcendentalne
4.6 Rodzaje krzywych geometrycznych
4.7 Zagadnienie Pappusa. Synteza
4.7.1 Lekcja Apoloniusza
4.7.2 Konstrukcja locus

5. Komentarz do Księgi Trzeciej
5.1 Mezolabium i średnie proporcjonalne
5.1.1 Dwie średnie proporcjonalne
5.1.2 Cztery średnie proporcjonalne
5.2 Mezolabium. Opis instrumentu
5.2.1 Równania krzywych kreślonych przez mezolabium
5.2.2 Klasyfikacja krzywych geometrycznych
5.2.3 Rola mezolabium
5.3 Wielomiany
5.3.1 Girolamo Cardano
5.3.2 Kartezjusz o wielomianach
5.4 Metoda matematyczna Kartezjusza
5.4.1 Problem: Twierdzenie Pappusa
5.4.2 Rozwiązanie Kartezjusza
5.5 Warstwa językowa
5.6 Trysekcja kąta
5.6.1 Analiza
5.6.2 Konstrukcja pierwiastków
5.7 Pierwiastki wielomianów
Wielomian szóstego stopnia
Bibliografia