Autor: Górniewicz Lech, Ingarden Roman Stanisław
ISBN: 978-83-231-2924-0
Ilość stron: 662
Data wydania: 12/2012 (wydanie 5)
Oprawa: Miękka
Format: 158 x 226 mm
Wydawnictwo: Wydawnictwo Naukowe UMK
W roku 1971 ukazał się podręcznik Krzysztofa Maurina Analiza, cz. 1, wydany przez Państwowe Wydawnictwo Naukowe w Warszawie. Podręcznik ten zawierał nowoczesny wykład analizy matematycznej, jednakże zdaniem studentów oraz wykładowców był zbyt trudny, w szczególności dla studentów pierwszego roku matematyki, fizyki czy też nauk technicznych, którym, między innymi, był on dedykowany.
Wydaje się, że w związku z tym w roku 1975 Profesor Roman Stanisław Ingarden zaproponował napisanie podręcznika wzorowanego w zakresie tematyki oraz nowoczesności wykładu na książce K. Maurina, ale w pełni przystępnego dla studentów matematyki, fizyki i nauk technicznych.
W efekcie tej propozycji w roku 1981 ukazał się pierwszy tom podręcznika L. Górniewicza i R. S. Ingardena Analiza matematyczna dla fizyków, a w roku 1983 tom drugi - obydwa wydane przez Państwowe Wydawnictwo Naukowe w Warszawie. W związku z brakiem finansowania w roku 1992 Państwowe Wydawnictwo Naukowe odstąpiło swe prawa wydawnicze Wydawnictwu Naukowemu Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu.
Drugie wydanie ukazało się w roku 1994, trzecie w roku 2000, a ostatnie, czwarte wydanie, w roku 2004. Niniejsze, piąte wydanie, nie zawiera nowych koncepcji merytorycznych i dydaktycznych, dokonane zostały jedynie korekty zauważonych w wydaniu czwartym usterek technicznych oraz pewne niezbędne uzupełnienia.
Wydanie to ma jednak wyjątkowy charakter. Pragnę je w całości zadedykować Panu Profesorowi Romanowi Stanisławowi Ingardenowi jako wyraz pamięci oraz głębokiego szacunku zarówno naukowego, jak i osobistego.
Spis treści:
Rozdział 1. LICZBY RZECZYWISTE
§ 1. Oznaczenia logiczne 1
§ 2. Zbiory. Odwzorowania zbiorów 2
§ 3. Aksjomatyczna teoria liczb rzeczywistych 7
§ 4. Ciągi liczbowe 13
§ 5. Granica ciągu liczbowego 14
§ 6. Warunek Cauchy’ego 21
§ 7. Granica górna i dolna 23
§ 8. Szeregi liczbowe 25
§ 9. Szeregi bezwzględnie zbieżne 30
§ 10. Szeregi o wyrazach dodatnich 34
§ 11. Zadania 36
Rozdział 2. PRZESTRZENIE METRYCZNE
§ 12. Definicja i przykłady przestrzeni metrycznych 43
§ 13. Podzbiory przestrzeni metrycznej 47
§ 14. Ciągi zbieżne w przestrzeni metrycznej 54
§ 15. Odwzorowania ciągłe 57
§ 16. Przykłady funkcji ciągłych 62
§ 17. Przestrzenie zupełne 64
§ 18. Przestrzenie zwarte 69
§ 19. Przestrzenie spójne 73
§ 20. Zadania 75
Rozdział 3. CIAGI I SZEREGI FUNKCYJNE
§ 21. Dalsze wiadomości o przestrzeniach zwartych 79
§ 22. Przestrzeń funkcji ciągłych 82
§ 23. Ciągi funkcyjne 87
§ 24. Szeregi funkcyjne 90
§ 25. Zadania 93
Rozdział 4. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
§ 26. Pochodna 97
§ 27. Geometryczne podejście do pojęcia pochodnej 108
§ 28. Interpretacje fizyczne pochodnej 111
§ 29. Twierdzenia Lagrange’a i Cauchy’ego oraz ich zastosowania 113
§ 30. Pochodne wyższych rzędów 118
§ 31. Zastosowania fizyczne drugiej pochodnej 121
§ 32. Twierdzenie Taylora 123
§ 33. Zastosowania pochodnych wyższych rzędów 126
§ 34. Szereg Taylora 128
§ 35. Całka Riemanna 129
§ 36. Całka jako funkcja górnej granicy całkowania 138
§ 37. Technika wyznaczania całki nieoznaczonej 141
§ 38. Całkowanie i różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych: szeregi trygonometryczne i szeregi Fouriera 154
§ 39. Całka niewłaściwa; jej związek z szeregami liczbowymi 163
§ 40. Zadania 165
Rozdział 5. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO I CAŁKOWEGO
§ 41. Krzywe płaskie 171
§ 42. Asymptoty; badanie przebiegu zmienności krzywych 177
§ 43. Krzywizna krzywej 178
§ 44. Przybliżone metody wyznaczania pierwiastków równań 180
§ 45. Długość łuku 183
§ 46. Obliczanie pól i objętości 184
§ 47. Przykłady zastosowań całki oznaczonej w fizyce 187
§ 48. Zadania 190
Rozdział 6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY W PRZESTRZENIACH BANACHA
§ 49. Przestrzenie liniowe 193
§ 50. Odwzorowania liniowe 197
§ 51. Przestrzenie unormowane 199
§ 52. Szeregi wektorów w przestrzeni unormowanej 203
§ 53. Ciągłe odwzorowania liniowe 204
§ 54*. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach liniowych 211
§ 55. Ciągłe odwzorowania wieloliniowe 216
§ 56. Różniczkowanie w przestrzeniach Banacha 218
§ 57. Słaba pochodna 221
§ 58. Twierdzenie o wartości średniej 225
§ 59. Przypadek, gdy E = Rn, E0 = Rm 228
§ 60. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań 233
§ 61. Pochodne wyższych rzędów 240
§ 62. Wzór Taylora. Ekstrema lokalne 247
§ 63. Zadania 257
Rozdział 7. ELEMENTY TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH
§ 64. Całkowanie odwzorowanń o wartościach w przestrzeni Banacha 261
§ 65. Pojecie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego 269
§ 66. Niektóre typy równań różniczkowych skalarnych 273
§ 67. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy’ego 278
§ 68. Ciągła zależność rozwiązań problemu Cauchy’ego od warunków początkowych oraz od parametru 283
§ 69. Rozwiązania przybliżone problemu Cauchy’ego 287
§ 70. Twierdzenie Peano 291
§ 71. Charakteryzacja zbioru rozwiązań problemu Cauchy’ego 294
§ 72. Równanie liniowe 299
§ 73. Układy równań różniczkowych; równania wyższych rzędów 309
§ 74*. Układy dynamiczne 313
§ 75*. Dowody twierdzeń Lasoty–Yorke’a oraz Schaudera o punkcie stałym 320
§ 76. Zadania 324
Rozdział 8. TEORIA MIARY I CAŁKI LEBESGUE’A
§ 77. Miara abstrakcyjna 329
§ 78. Generator miary 334
§ 79. Funkcje mierzalne 339
§ 80. Miara Lebesgue’a 345
§ 81. Całka względem miary 352
§ 82. Całka Lebesgue’a; porównanie z całka Riemanna 366
§ 83. Twierdzenie Fubiniego 371
§ 84. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue’a 383
§ 85*. Całka Lebesgue’a–Stieltjesa 389
§ 86*. Przestrzenie funkcji całkowalnych 392
§ 87. Zadania 394
Rozdział 9. FORMY RÓŻNICZKOWE
§ 88. Przestrzeń tensorów 399
§ 89. Iloczyn zewnętrzny 406
§ 90. Pola wektorowe 409
§ 91. Formy różniczkowe 412
§ 92. Lemat Poincar´e 418
§ 93. Całkowanie from różniczkowych po łańcuchach 421
§ 94. Rozmaitosci zanurzone w Rn 429
§ 95. Pola wektorowe na rozmaitościach (wzmianka o równaniach różniczkowych zwyczajnych na rozmaitościach) 439
§ 96. Formy różniczkowe na rozmaitościach 443
§ 97. Całkowanie form różniczkowych na rozmaitościach 448
§ 98. Element objętości na rozmaitości; konsekwencje twierdzenia Stokesa 454
§ 99. Ekstrema funkcji określonych na rozmaitościach 460
§ 100*. Ogólne pojęcie rozmaitości 462
§ 101*. Twierdzenie Frobeniusa 473
§ 102. Zadania 475
Rozdział 10. FUNKCJE HOLOMORFICZNE
§ 103. Wiadomości wstępne 479
§ 104. Różniczkowalność w sensie zespolonym 485
§ 105. Przykłady funkcji holomorficznych 490
§ 106. Całka funkcji zmiennej zespolonej 493
§ 107. Wzór całkowy Cauchy’ego 503
§ 108. Szeregi Laurenta; osobliwe punkty izolowane 512
§ 109. Residua 522
§ 110. Przekształcenie Laplace’a i jego zastosowanie do równań różniczkowych 531
§ 111*. Informacje o równaniach różniczkowych w dziedzinie zespolonej 544
§ 112. Zadania 549
Rozdział 11. WSTĘPNE POJĘCIA TEORII DYSTRYBUCJI
§ 113. Przestrzenie liniowo-topologiczne 553
§ 114. Podstawowe klasy funkcji 557
§ 115. Dystrybucje i ich pochodne 561
§ 116. Dystrybucje temperowane 569
§ 117. Przekształcenie Fouriera na S i S0 572
§ 118. Zadania 574
Rozdział 12. ELEMENTY TEORII PRZESTRZENI HILBERTA
§ 119. Pojecie przestrzeni Hilberta 577
§ 120. Twierdzenie o rzucie prostopadłym 582
§ 121. Funkcjonały liniowe w przestrzeniach Hilberta 587
§ 122. Odwzorowania liniowe przestrzeni Hilberta 590
§ 123. Analiza widmowa operatorów samosprzężonych 596
§ 124. Zadania 602
Dodatek 1. ELEMENTY TOPOLOGII OGÓLNEJ
§ A. Przestrzenie topologiczne 603
§ B. Odwzorowania ciągłe przestrzeni topologicznych 608
§ C. Aksjomaty oddzielania 609
§ D. Przestrzenie zwarte i lokalnie zwarte 612
§ E. Przestrzenie parazwarte 615
§ F. Twierdzenia o zanurzaniu przestrzeni metrycznych oraz o przedłużaniu odwzorowań ciągłych 617
Dodatek 2. ALGEBRY BANACHA
§ A. Podstawowe pojęcia i przykłady 621
§ B. Widmo elementu w algebrze 623
§ C. Charaktery algebr Banacha 626
Dodatek 3. CAŁKOWANIE W PRZESTRZENIACH HILBERTA
§ A. Miara spektralna; twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych 629
§ B. Konstrukcja miary w przestrzeniach Hilberta za pomocą funkcjonału charakterystycznego